# Что такое ряды Фурье, или можно ли быть сразу здесь и везде, сейчас и всегда?

Эл П Яровер

Для любознательных молодых людей любого возраста, которые любят смотреть интернет телевидение и пользоваться цифровыми фото и видео камерами, а при случае и непрочь задуматься о том, как устроена природа

Что такое ряды Фурье,


или можно ли быть сразу здесь и везде, сейчас и всегда?


------------------------------------------------------------------------------------------ Для любознательных молодых людей любого возраста, любящих смотреть интернет телевидение и пользоваться цифровыми фото и видео камерами, а при случае и непрочь задуматься о том, как устроена природа ------------------------------------------------------------------------------------------

Однажды в передаче "Павел Лобков" на телеканале "Дождь" о каком-то мероприятии Политехнического музея в Москве Павел сказал, что вообще-то очень трудно популярно объяснять научные понятия, особенно в математике. "Например, - сказал он, - я не знаю, как объяснить, что такое ряды Фурье". А мне вдруг подумалось, что я знаю. Почему бы не попробовать?

Ряды Фурье - это очень просто. Единственное замечание к читателю: если при чтении что-нибудь не будет понятно, не смущайтесь, пропустите это место и читайте дальше. А потом прочтите сначала. Надеюсь, больше двух прочтений не понадобится.

Начнем с того, что, когда говорят о рядах Фурье, имеют в виду разложение математических функций в ряд Фурье. Ну, функция это математическое понятие, которое применимо ко всему, что угодно. Например, то, что я сейчас пишу, это чередование черных и белых точек на бумаге. Каждая точка имеет свое место. Порядок чередования точек на языке математики - это функция места. Если бы я это говорил вслух, мой голос - это колебания давления воздуха. Они происходят во времени (если отвлечься от того, где я говорю). На математическом языке эти колебания давления воздуха - функция времени: в такой-то момент времени я произнес такой-то звук.

Теперь что такое разложение функции в ряд. Обычно, любую вещь, которую мы хотим изучить, мы разбиваем на какие-то понятные нам составные части, а сложные вещи часто делаем путем комбинации простых, как, например, в детских конструкторах Лего. Так вот, разложение функции в ряд - это один из вариантов разбиения целого на составные части, а конкретно это представление функции в виде суммы некоторых стандартных, то есть заранее известных, функций. Их еще называют базисными функциями. Это математические аналоги кубиков конструкторов Лего. Суммирование понимается в самом обычном смысле слова. При этом базисные функции суммируются с коэффициэнтами, определяющими их вклад в общую сумму. То есть в конкретном разложении некоторой функции одна базисная функция может войти в эту сумму с коэффициентом 100 , то есть умноженная но 100, а другая с коэффициентом одна сотая, а третья с коэффициентом, скажем, 20 и так далее. Набор этих весовых коэффициентов специфичен для каждой конкретной функции, которая подвергается разложению в ряд. Собственно сам процесс разложения функции в ряд это определение этих ее коэффициентов.

Какие функции можно использовать как базисные? В принципе любые. Нужно только их выбрать заранее, как выбирают инструмент, когда хотят что-нибудь смастерить. Одни наборы функций могут быть лучше для каких-нибудь применений, другие хуже.

Теперь можно объяснить, что такое разложение в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье - это когда в качестве базисных функций используются так называемые синусоидальные и косинусоидальные функции. Что это за функции, можно понять, если взглянуть на движение стрелок часов (смотри русунок).


Если при движении стрелки часов измерять расстояние от конца стрелки до горизонтальной линии, проходящей через цифры 9 и 3, то это расстояние меняется как синусоидальная функция времени, а расстояние конца стрелки до вертикальной оси, проходящей через цифры 12 и 6, меняется как косинусоидальная функция времени. При этом если конец стрелки находится сверху от горизонтальной оси и справа от вертикальной, то значения этих функций считаются положительными, а если слева и снизу - отрицательными. Получающиеся функции являются периодическими, то есть повторяющимися с некоторым периодом, соответствующим полному обороту стрелки от 12 до 12. На рисунке показаны 4 периода синусоидальной и косинусоидальной функций, что соответствует 4 полным оборотам стрелки часов. Заметим, что синусоидальные и косинусоидальные функции это по сути одни и те же функции, только сдвинутые на четверть периода. Они нужны в такой паре, чтобы можно было разложить в ряд Фурье любые функции. Почему это так, для дальнейшего понимания не так важно. (Но для особенно любознательных скажу в скобках. Одних синусоидальных функций недостаточно хотя бы потому, что никакая их комбинация не может дать косинусоидальную функцию, ибо там где косинусоидальная функция максимальна, то есть имеет значение 1, все синусоидальные функции равны нулю. И наоборот, там, где синусоидальная функция максимальна, косинусоидальные функции равны нулю). В дальнейшем мы будем иногда для краткости говорить о синусоидальных функциях, имея в виду оба семейства функций.

Число периодов синусоидальных функций времени в единицу времени называется частотой функции. Если взять частоту функции, соответствующей движению часовой стрелки, за единицу, то частота, соответствуюшая движению минутной стрелки, будет 60, а частота, соответствующая движению секундной стрелки - 3600.

При разложении функций в ряд Фурье используются синусоидальные функции разных частот. Для колебаний во времени даже имеется особая единица измерения частоты: "Герц" в честь замечательного немецкого физика и одного из классиков физики Генриха Герца. Один Герц это частота колебания, период которого длится одну секунду.


Вот как выглядят косинусоидальные (слева) и синусоидальные (справа) функции разных частот. Частота увеличивается сверху вниз.


А вот как выглядят косинусоидальные и синусоидальные двумерные базисные функции, то есть функции положения точки на плоскости. Эти функции могут использоваться как базисные при разложении картинок в ряд Фурье. Каждая функция показана в отдельном квадрате. Всего показано 8х8=64 функций в 8х8 квадратах. Положительные значение показаны светлыми, отрицательные - темными. У каждой функции своя частота по горизонтали и вертикали. Частоты увеличиваются слева направо (по горизонтали) и сверху вниз (по вертикали).


Хотя частоты синусоидадьных функций могут быть какими угодно, для построения рядов Фурье частоты синусоидальных составляющих выбираются кратными частоте самой низкочастотной составляющей, называемой первой гармоникой. Если в ряде Фурье расположить синусоидальные составляющие в порядке возрастания их частот, то следующей после основной гармоники будет составляющая с частотой вдвое большей частоты основной гармоники. Она называется второй гармоникой. Следующая идёт третья гармоника с тройной частотой и так далее. Таким образом ряды Фурье это набор гармоник. Название "гармоника" пришло из наблюдений за колебаниями струн музыкальных инструментов в Древней Греции, Древнем Риме, в Средние века и в эпоху Возрождения, когда постепенно стало развиваться учение о звуковысотной структуре музыки. Основная гармоника и более высокие гармоники колебания струны носят ещё название тона и обертонов. Из них состоят все звуки, издаваемые музыкальными инструментами. Остается теперь вопрос: ну хорошо, ряд Фурье представляет собой сумму гармоник с частотами, кратными частоте первой гармоники, а какова же частота этой первой гармоники? Ответ на этот вопрос такой: частота первой гармоники равна величине, обратной протяженности, или длительности, функции, то есть период колебаний первой гармоники равен протяженности фунции, точнее, протяженности того интервала, на котором мы знаем значения функции и который использовался для нахождения коэффициентов ее разложения в ряд Фурье. Если вы, дорогой читатель, остановитесь на минутку на этом месте и подумаете, то вы наверняка спросите, вернее скажете, что ведь если функция представлена в виде суммы периодических колебаний, то есть гармоник, с кратными частотами, то значит эта фунция тоже будет периодической с периодом, равным периоду первой гармоники, то есть равным протяженности функции. Это значит, что если для функции построить ее ряд Фурье, а потом просуммировать полученые составляющие, то получится исходная функция в ее пределах от начала до конца, а вне этих пределов эта сумма компонент ряда Фурье исходной функции будет повторять себя бесконечное количество раз с периодом, равным протяженности исходной функции. Конечно, в природе встречаются периодические явления, которые можно описать периодическими функциями. Например, колебания натянутой струны, движение небесных тел. Но несравненно больше таких, которые не являются периодическими и имеют начало и конец. Можно ли построить ряды Фурье для таких функций так чтобы получить точно исходную непериодическую функцию? Можно. Подумаем, что значит, что мы знаем, где начало и где конец функции? Это значит, что мы подразумеваем наличие интервала, гораздо большего, чем протяженность этой функции и что функция расположена где-то внутри этого большого интервала, а в остальной части этого интервала ее нет, то есть ее значения равны нулю. Поэтому давайте строить ряд Фурье функции на этом большом интервале и выберем протяженность этого большого интервала как угодно большим. Тогда и период полученного ряда Фурье будет как угодно большим, и на этом как угодно большом периоде функция не будет периодической, а будет точно такой же как исходная функция. Хорошо, скажете вы, а как узнать, как мне угодно "каким большим должен быть этот интервал"? Хороший вопрос! Не знаю. А может быть все в этом мире периодическое, только этот период такой большой, что мы не знаем, где его начало и где конец. Известно, например, что все в этом мире квантовано, то есть состоит из квантов, и пространство, и время, и энергия, абсолютно все, только мы этого в повседневной жизни не замечаем. Этому учит квантовая механика. Совсем как в наших рядах Фурье, где частоты составляющих их гармоник тоже квантованы.

Разложение функций в ряд Фурье выглядит чисто математическим приемом. Но существует ли оно, можно ли его наблюдать на самом деле в природе? Существует. И его можно непосредственно наблюдать, если использовать прибор, который чувствует синусоидальные функции.

Например, наше ухо устроено так, что оно чувствует отдельные синусоидальные колебания давления воздуха разных частот от примерно 20 Герц до нескольких тысяч Герц, и это позволяет нам распознавать речь и наслаждаться музыкой. То есть мы слышим благодаря тому что наши уши воспринимают звук не целиком, а через отдельные составляюшие его ряда Фурье. Музыкальные инструменты производят звуки, явлющиеся синусоидальными колебаниями различных частот. Каждая музыкальная нота имеет свою частоту. Например, звук "соль первой октавы" имеет частоту 392 Герца.

И наше зрение воспринимает свет не целиком, а через его отдельные составляющие разных частот электромагнитых колебаний, которым является свет. Благодаря этому мы различаем цвета. Реальность разложения света в ряд Фурье показывает нам и радуга.

Если по каким-нибудь причинам мы не способны воспринять все частотные компоненты объектов, для звука, например, из-за ухудшения слуха или зрения или по каким-то другим причинам, мы воспринимаем объект с искажениями. Это иллюстрируется следующими рисунками.


На этих рисунках видно, что с потерей своих высокочастотных синусоидальных составляющих объект начинает уширяться и терять четко очерченную форму. Про изображение мы говорим, что оно становится размытым, нечётким. Это явление хорошо знакомо всем, кто потерял остроту зрения и вынужден пользоваться очками. Очки способны в какой-то мере восстановить интенсивность высокочастотных компонент изображений, ослабляемых оптикой глаза людей с частичной потерей остроты зрения. Ухудшение слуха с возрастом тоже, как правило, объясняется тоже ослаблением чувствительности слухового аппарата к высокочастотным составляющим звуков. Степень такого ухудшения измеряется при подборе слуховых аппаратов.

Так что разложение всех наблюдаемых объектов в ряд Фурье, то есть в виде суммы синусоидальных колебаний, действительно существует. А теперь самое интересное и в какой-то степени загадочное.

Во-первых, получается, что все предметы в природе они и "предметы", и волны, смотря по тому, чем они наблюдаются. Похоже это то, что в квантовой механике называется дуальностью волна-частица.

Во-вторых, хотя каждый объект мы воспринимаем как сосредоточенный во времени или пространстве или сосредоточеный и в том, и другом смысле, составляющие его синусоидальные колебания как функции времени не сосредоточены во времени, они существуют всегда, во все моменты времени, а синусоидальные колебания как функции пространственных координат существуют во всех точках этих координат, то есть везде. То есть получается, что объекты как целое сосредоточены в пространстве и времени, то есть существуют ЗДЕСЬ и СЕЙЧАС, а составляющие их синусоидальные компоненты существуют ВЕЗДЕ и ВСЕГДА! Да и сосредоточение объектов в пространстве и времени зависит от того, все ли их компоненты мы наблюдаем. Если нет - их сосредоточенность размывается. Это явление известно в квантовой механике как принцип неопределенности.

В заключение о том, почему этот вид разложения функций в ряд, который здесь описан, называется рядом Фурье в честь Жана Батиста Жосефа Фурье (1768-1830), знаменитого французского ученого. Это он впервые предложил разложение функций в ряд по синусоидальным фунциям как способ решения так называемых линейных дифференциальных уравнений, то есть уравнений, выраженных как сумма с некоторыми коэффициентами разных производных искомых функций. Первая производная функции - это скорость ее изменения, например, при движении объекта - это скорость его передвижения. Вторая производная функции- это скорость изменения ее производной. При анализе движения объектов вторая производная - это их ускорение, и так далее.

Например, второй закон механики Ньютона гласит: ускорение движения тела, то есть вторая производная функции, описывающей положение тела, пропорционально действующей на тело силе, то есть равно силе поделенной на некоторый коэффициент (это масса тела). Этот закон математически записывается как линейное уравнение относительно второй производной.

Вот для решения такого рода уравнений Фурье и предложил искать коэффициенты разложения функций в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций. А предложил он это по той простой причине, что производные синусоидальных и косинусоидальных функций это те же синусоидальные и косинусоидальные функции, и поэтому такое разложение превращает дифференциальные уравнения в обыкновенные алгебраические уравнения относительно коэффициентов разложения. А такие уравнения в то время уже умели хорошо решать. А если Вы, дорогой читатель, забыли, что это такое, то это сейчас не важно. Просто я хочу сказать, что причина предложения Фурье была чисто математическая.

Итак, для Фурье это был изящный математический прием. А оказалось, что он открыл одно их самых фундаментальных свойств природных явлений и тел. Поистине, как говорил Гегель, все действительное разумно, а все разумное действительно!


Ну хорошо, может спросить теперь читатель, а нужны ли эти ряды Фурье кому-нибудь, кроме математиков, применяются ли они практически? Так вот, Жан Батист Жосеф Фурье потому и знаменит, что практические приложения рядов Фурье неисчислимы. Простой пример: когда вы пользуетесь своим цифровым фотоаппаратом или видео камерой, знайте, что они записывают в своей памяти не картинки, а коэффициенты их рядов Фурье. То же самое с картинками и видео в интернете и в современном цифровом телевидении. Цифровая революция, которая произошла на наших глазах за последние 10-15 лет в фотографии и телевидении и благодаря которой стало возможным фотографировать и снимать видео даже с помощью телефона и смотреть телевизионные передачи со всего мира на том же мобильнике, наступила, когда догадались записывать и передавать не картинки, как раньше, а их коэффициенты Фурье.


6